Dinâmica não Linear

Código:

PRODEM018

Sigla:

DLC

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Engenharia Mecânica

Ocorrência: 2023/2024 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Mecânica Aplicada
Curso/CE Responsável:	Programa Doutoral em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
PRODEM	0	Plano de estudos oficial a partir de 2009/10	1	-	6	28	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Os objectivos da disciplina são ensinar alguns aspectos fundamentais da teoria de sistemas dinâmicos não-lineares e fornecer aos alunos ferramentas necessárias para aplicar esta teoria a problemas práticos. A teoria tem aplicações em inúmeras áreas, mas será dada ênfase a aplicações a sistemas mecânicos.

Resultados de aprendizagem e competências

Após completar a cadeira, o/a estudante deverá ter competência para estudar um sistema dinâmico não linear. Em particular deve ser capaz de aplicar diferentes métodos de resolução de equações do movimento,  analisar e distinguir as soluções (equilíbrio, periódicas, quasi-periódicas ou caóticas), saber analisar a estabilidade de soluções de equilíbrio e de soluções periódicas e conhecer diversos tipos de bifurcação.

Modo de trabalho

À distância

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos

Os estudantes devem ter conhecimentos de matemática normalmente fornecidos nos primeiros anos de cursos em Engenharia, Matemática ou Física. Em particular, devem ter conhecimentos básicos de Álgebra Matricial, como operações com matrizes e vectores, e conhecimentos simples na área da Análise Matemática, como derivação, trigonometria, séries de Fourier e de Taylor. Conhecimentos de vibrações em regime linear são úteis, mas não são essenciais.

 

Co-requisitos

Conhecimentos básicos de programação (por exemplo em Maple, Matlab ou Fortran) são convenientes. No entanto, os códigos a desenvolver neste curso são relativamente simples pelo que o aluno pode adquirir os conhecimentos necessários de, por exemplo, Matlab enquanto frequenta a disciplina.

Programa

1. Introdução
1.1 Sistema dinâmicos não lineares: definição, causas de não linearidade, exemplos de sistemas não lineares

2. Conceitos fundamentais
2.1 Sistemas discretos e sistemas contínuos no tempo, sistemas não autónomos e sistemas autónomos, espaço de fase
2.2 Existência e unicidade de soluções
2.3 Pontos de equilíbrio: centros, nós, focos e pontos sela
2.4 Ciclos limite
2.5 Linearização de sistemas não lineares (teorema de Hartman-Grobman)
2.6 Conceitos de estabilidade: estabilidade de Lyapunov, estabilidade assimptótica, estabilidade de Poincaré
2.7. Conceito de bifurcação. Bifurcações em soluções de equilíbrio
2.8 Fluxos bi-dimensionais: teorema de Poincaré-Bendixson e critério de Bendixson

3. Métodos de resolução das equações de movimento
3.1 Métodos de perturbação
3.1.1 Método da expansão directa
3.1.2 Método das escalas múltiplas
3.2 Método de balanceamento dos harmónicos
3.3 Integração numérica no tempo
3.4 Método do disparo (“shooting method”)
3.5 Método de Continuação


4. Movimentos periódicos e métodos para analisar movimentos
4.1 Definição. História temporal
4.2 Plano de fase
4.3 Espectro de Fourier
4.4 Mapa de Poincaré
4.5 Teoria de Floquet
4.6 Bifurcações de soluções periódicas

5. Movimentos quasi-periódicos
5.1 Definição
5.2 História temporal, plano de fase, espectro de Fourier e mapa de Poincaré

6. Caos
6.1 Definição. Alguns caminhos para caos
6.2 História temporal, plano de fase, espectro de Fourier e mapa de Poincaré típicos de um sistema caótico
6.3 Expoentes de Lyapunov

7. Vibrações de estruturas em regime não linear geométrico
7.1 Equações do movimento de estruturas a vibrar com grandes deslocamentos
7.2 Modos não lineares de vibração: variação da forma modal e da frequência natural de vibração
7.3 Fenómeno de resonância interna
7.4. Análise experimental

Bibliografia Obrigatória

Nayfeh, Ali Hasan; Applied nonlinear dynamics. ISBN: 0-471-59348-6
Thomsen, Jon Juel; Vibrations and stability. ISBN: 3-540-40140-7

Bibliografia Complementar

Eds. David J. Wagg, Lawrence Virgin; Exploiting nonlinear behavior in structural dynamics. ISBN: 978-3-7091-1186
Bathe, Klaus-Jurgen; Finite element procedures. ISBN: 0-13-301458-4
Moon, Francis C.; Chaotic vibrations. ISBN: 0-471-67908-9
Wiggins, Stephen; Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. ISBN: 0387-00177-8
Verhulst, Ferdinand; Nonlinear differential equations and dynamical systems. ISBN: 3-540-50628-4
Ali Hasan Nayfeh, Dean T. Mook; Nonlinear Oscillations. ISBN: 978-0-471-12142-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

A matéria é em parte transmitida através de um conjunto de aulas teórico-práticas e, complementarmente, desenvolvida pelos alunos através de aplicações analíticas ou numéricas.

As aulas teórico-práticas serão constituídas por exposição e apresentação de conceitos fundamentais, de métodos e de algoritmos aplicados neste ramo. Serão também resolvidos alguns exercícios. Os estudantes serão encorajados a explorar fora das aulas os conceitos e métodos apresentados. Com esse intuito, alguns pequenos trabalhos computacionais e exercícios simples são dados aos alunos ao longo do semestre. Um trabalho prático mais exigente com uma parte analítica e uma segunda parte computacional ou experimental será também obrigatório.

A disciplina poderá ser leccionada em Português ou Inglês, consoante os alunos que a frequentem.

Habitualmente o número de estudantes é baixo e as aulas formais são substituídas por um acompanhamento tutorial semanal, baseado nos diapositivos que seriam usados nas aulas, em bibliografia e em exercícios sugeridos.

Software

Maple 6
The Mathworks - Matlab - Release 11.1

Palavras Chave

Ciências Tecnológicas > Engenharia > Engenharia mecânica > Engenharia da vibração
Ciências Tecnológicas > Engenharia > Engenharia mecânica

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Trabalho escrito	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	80,00
Trabalho escrito	80,00
Total:	160,00

Obtenção de frequência

Acompanhamento da disciplina ao longo do semestre, entrega de relatórios e programas computacionais dos trabalhos propostos.

Fórmula de cálculo da classificação final

 Dois tipos de trabalho contam para a classificação: pequenos trabalhos dados ao longo do semestre para o/a estudante aplicar conceitos específicos; um trabalho analítico e computacional mais abrangente sobre a análise de um sistema não linear.
A classificação é calculada da seguinte forma:

0.3 * classificação em pequenos trabalhos dados ao longo do semestre + 0.7* classificação do trabalho maior